Géométrie - Spécialité

Expressions du produit scalaire

Exercice 1 : Utilisation de la décomposition du produit scalaire dans une figure

On considère la figure ci-dessous, où :

\( BCE \) est rectangle et isocèle en \( C \)
\( AB = 3 \)
\( FH = 5 \)
\( AFB \) est isocèle en \( F \)
\( ABCD \) est un carré

Calculer le produit scalaire \( \overrightarrow{FE} \cdot \overrightarrow{AD} \).
On donnera directement la réponse, sans préciser à quoi elle correspond.

Exercice 2 : Norme d'un vecteur dans un repère orthonormé

Soit un repère orthonormé \(\left(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}\right)\), et \(\overrightarrow{u} \left(2; 2\right)\).
Déterminer la norme du vecteur \(\overrightarrow{u}\).

Exercice 3 : Calcul de cosinus avec normes et produit scalaire

AOF est un triangle.

\( AO = 1 \)
\( AF = 28 \)
\( \overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{AF} = 22,12 \)

Calculer \( \operatorname{cos}\left(\widehat{OAF}\right) \)

Exercice 4 : Produit scalaire de 2 vecteurs colinéaires avec droite graduée

On considère 3 points \( A, B \text{ et } C \) d'abscisse respective \( a, b \text{ et } c \) sur une droite graduée.
Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\) dans les 2 cas suivants :

Cas 1 :

Cas 2 :

Exercice 5 : Trouver m pour que vect(u) et vect(v) soient orthogonaux, une seule solution

Dans un repère orthonormé, on donne \( \overrightarrow{u} (1;23 -11m) \) et \( \overrightarrow{v} (-21m;-27). \)
Trouver la valeur de \( m\) pour laquelle les vecteurs \( \overrightarrow{u} \text{ et } \overrightarrow{v} \) sont orthogonaux.

On donnera la réponse sous la forme d'un ensemble, par exemple \(\{1\}\).

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